Nghịch lý Galileo

Đây là 1 định lý toán học, theo nghịch lý Galileo thì một phần của một tập hợp vô hạn cũng có cùng số phần tử với tập hợp đó (nếu phần đó cũng là một tập hợp vô hạn). Galileo đã xét 2 tập hợp vô hạn: tập hợp số nguyên dương N = {1,2,3,4,5, ...} và tập hợp bình phương các số nguyên S = {1,4,9,16,25, ...}. Trong tập hợp N, có những số chính phương, tức là những số nằm trong S và những số không chính phương, không nằm trong S. Như vậy, S là một tập hợp con của N. Theo khái niệm trong tập hợp hữu hạn thì tập hợp S phải có ít phần tử hơn tập hợp N. Nhưng, mặt khác, có một sự tương ứng 1 đối 1 giữa các phần tử N và S.

Ứng với một số nguyên dương của N, có một bình phương duy nhất nằm trong S và ứng với một số của S, có một căn số bậc hai nằm trong N. Như vậy, cũng theo khái niệm trong tập hợp hữu hạn, hai tập hợp N và S phải bằng nhau, trong nghĩa có cùng số phần tử. Áp dụng khái niệm về sự so sánh các tập hữu hạn vào tập hợp vô hạn đưa đến một sự không hợp lý là "Tập hợp con bằng với tập hợp mẹ (trường hợp tập hợp vô hạn)" ! Sự vô lý này được nêu lên lần đầu tiên bởi Galileo và được xem là một nghịch lý.